Проблема решена. Выкладываю отчёт "для потомков"
С проводкой и контактами всё оказалось полный "Ок"! Мультиметром прозвонил всю массу (кузова, двигателя), прозвонил плюсовые провода аккума, провод на стартер и т.п. Всё оказалось ок (предыдущий владелец щедро всё смазал медной смазкой)!
Было принято решение снимать стартер и везти на ремонт. При беглом осмотре стало понятно, что стартер либо вообще ни разу не снимали, либо снимали очень-очень давно. Кое-как сдернул болты, отвез на ремонт.
Вердикт: общий износ стартера. Заменили бендикс, щеточный узел, обновили пятаки и "перемычку" из меди между втягивающим и стартером. Всё удовольствие вышло в 1700 рублей за 3 часа работы. Крутит как новый!